Shmei seic sto mˆjhma Grammik 'Algebra II

Shmei seic sto mˆjhma Grammik 'Algebra II Tm ma Majhmatik n Panepist mio Ajhn n Aj na 3

Perieqìmena Πολυώνυμα. Διαιρετότητα................................... Ανάγωγα πολυώνυμα...............................3 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης, Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο......... 4.4 Ασκήσεις.................................... 5.5 Ρίζες πολυωνύμων............................... 7.6 Πολυώνυμα και Πίνακες............................ 8.7 Πολυώνυμα και Γραμμικές Απεικονίσεις.................... Ιδιοτιμές -Ιδιοδιανύσματα 3. Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο Πίνακα...................... 3.αʹ Ιδιότητες του χ A (x.......................... 3. Ιχνος Πίνακα.................................. 3.3 Ιχνος,Ορίζουσα και ιδιοτιμές......................... 3.4 Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο γραμμικής απεικόνισης............. 34.5 Διαγωνίσιμοι Πίνακες............................. 35.6 Εφαρμογές διαγωνιοποίησης.......................... 4.7 Διαστάσεις Ιδιόχωρων............................. 4.8 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις..................... 49.9 Τριγωνισιμότητα,Θεώρημα Cayley- Hamilton................ 53. Ελάχιστο Πολυώνυμο............................. 6. Ιδιότητες Του Ελάχιστου Πολυωνύμου και το Βασικό Θεώρημα...... 65. Ελάχιστο Πολυώνυμο Γραμμικής Απεικόνισης................ 68.αʹ Ασκήσεις............................... 68.3 Διαγωνιοποίση Ερμιτιανών Πινάκων..................... 7 3 Ορθοκανονικές Βάσεις 75 3. Μέθοδος Gram-Schmidt........................... 76 3. Μοναδιαίοι πίνακες.............................. 78 3.3 Φασματικό Θεώρημα.............................. 83

iv Περιεχομενα 3.4 Κανονικοί Πίνακες............................... 88 4 Θέματα από Παλιές Εξετάσεις 9

Kefˆlaio Polu numa Στόχος αυτής της ενότητας είναι να δώσουμε τις βασικές ιδιότητες των πολυωνύμων που θα χρειαστούμε στα επόμενα κεφάλαια χωρίς όμως αποδείξεις.. Diairetìthta Συμβολίζουμε με F[x] το σύνολο των πολυωνύμων με συντελεστές από το F.Ξέρουμε ότι κάθε a(x F[x] γράφεται μοναδικά ως : a(x = a n x n + a n x n +... + a x + a a i F, a n.το a n λέγεται μεγιστοβάθμιος συντελεστής του a(x, ενώ το a n x n λέγεται μεγιστοβάθμιος όρος του a(x και το n βαθμός του a(x (συμβολίζουμε το n ως deg a(x Πρόταση... Εστω a(x, b(x F[x] μη μηδενικά.τότε a(x b(x και Ειδικά : deg ( a(x k = k deg a(x Απόδειξη. Εστω a n deg (a(x b(x = deg a(x + deg b(x. a(x = a n x n + a n x n +... + a x + a b(x = b m x m + b m x m +... + b x + b b m Τότε από τον ορισμό του γινομένου πολυωνύμων, ο μεγιστοβάθμιος όρος του a(x b(x είναι ο a n b m x n+m.επειδή a n b m έχουμε a(x b(x και deg a(x b(x = n + m.

Πολυωνυμα Ορισμός... Εστω a(x, b(x F[x] θα λέμε ότι το a(x διαιρεί το b(x στο F[x] (ή ότι το a(x είναι διαιρέτης του b(x στο F[x] αν υπάρχει c(x F[x] τέτοιο ώστε και θα συμβολίζουμε a(x b(x b(x = a(x c(x Για παράδειγμα το x + x + διαιρεί το x 3 = (x (x + x + Πρόταση..3. Εστω a(x, b(x, c(x F[x].Τότε ( Αν a(x b(x και a(x c(x,τότε a(x θ(x b(x+φ(x c(x για κάθε θ(x, φ(x F[x] ( Αν a(x b(x και b(x a(x,τότε b(x = c a(x με c F Απόδειξη του (. Εστω b(x = a(x c (x,a(x = b(x c (x τότε αντικαθιστώντας την δεύτερη ισότητα στην πρώτη παίρνουμε (. b(x = b(x c (x c (x και διακρίνουμε περιπτώσεις, πρώτα υποθέτουμε ότι b(x οπότε διαιρώντας την (. με b(x παίρνουμε = c (x c (x επομένως ο βαθμός των c (x, c (x είναι από την Πρόταση.. άρα c (x = c F για την άλλη περίπτωση υποθέτουμε b(x = τότε από την b(x a(x έπεται a(x = δηλ b(x = a(x = Παρατήρηση : Σύμφωνα με τον ορισμό, a(x για κάθε a(x F[x].Επίσης. Ακόμη αν a(x τότε a(x =. Θεώρημα..4. (Ταυτότητα της Διαίρεσης Εστω a(x, b(x F[x], a(x. Τότε υπάρχουν μοναδικά q(x, r(x F[x], ώστε b(x = a(x q(x + r(x και deg r(x < deg q(x ή r(x =. Anˆgwga polu numa Ορισμός... Ενα p(x F[x] θετικού βαθμού λέγεται ανάγωγο στο F[x] (ή ανάγωγο πάνω από το Fαν δεν υπάρχουν a(x, b(x F[x] θετικού βαθμού ώστε Παραδείγματα : p(x = a(x b(x ( Κάθε p(x F[x] θετικού βαθμού με deg p(x = (δηλ p(x = p x + p,p, p mathbbf,p,είναι ανάγωγο στο F[x] ( το x +,είναι ανάγωγο στο R[x] (3 το x +,ΔΕΝ είναι ανάγωγο στο C[x] αφού x + = (x + i(x i

. Αναγωγα πολυωνυμα 3 (4 το x 4 +,ΔΕΝ είναι ανάγωγο στο R[x] αφού x 4 + = (x x + (x + x + Θεώρημα... (Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας ( Τα ανάγωγα πολυώνυμα p(x στο C[x] είναι ακριβώς τα πρωτοβάθμια deg p(x = (δηλ p(x = p x + p,p, p C,p, ( Τα ανάγωγα πολυώνυμα p(x στο R[x] είναι ακριβώς τα πρωτοβάθμια deg p(x = (δηλ p(x = p x + p,p, p R,p και,και του δευτέρου βαθμού με αρνητική διακρίνουσα (δηλ p(x = p x + p x + p,p, p, p R,p, p 4p p < Παραδείγματα : ( το x + x + δεν είναι ανάγωγο στο C[x] αλλά είναι ανάγωγο στο R[x] ( το x + x,δεν είναι ανάγωγο στο R[x] (3 το x n + x,δεν είναι ανάγωγο στο R[x] (n 3 Θεώρημα..3. Κάθε a(x F[x] θετικού βαθμού γράφεται στη μορφή a(x = c p (xp (x...p k (x όπου c F και p i F[x] μονικά ανάγωγα πολυώνυμα. Επιπλέον τα c, k, p (x, p (x,..., p k (x είναι μοναδικά, χωρίς να λαμβάνεται υπόψιν η σειρά των παραγόντων. (Σημείωση: μονικά είναι τα πολυώνυμα που ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής είναι Παρατήρηση ( Ανάλυση σε γινόμενο μονικών αναγώγων Επεται ότι κάθε a(x F[x] θετικού βαθμού γράφεται: (. a(x = c p (x n,,, p k (x n k, όπου c F, και p i (x F[x] μονικά ανάγωγα ανά δύο πολυώνυμα Ακόμη αν a(x τότε a(x =. Παραδείγματα : ( Η ανάλυση του x 3 στο R[x] είναι: ( Η ανάλυση του x 3 στο C[x] είναι: ( x 3 = (x x 3 = (x (x + x + x + + i 3 ( x + i 3 (3 Η ανάλυση του x 8 στο R[x] είναι: x 8 = (x 4 (x 4 + = (x+(x (x + (x x + (x + x +

4 Πολυωνυμα.3 Mègistoc Koinìc Diairèthc, Elˆqisto Koinì Pollaplˆsio Ορισμός.3.. a(x, b(x F[x] όχι και τα δύο ίσα με. Ενα d(x F λέγεται μέγιστος κοινός διαιρέτης (μ.κ.δ των a(x, b(x, αν : ( Το d(x είναι μονικό ( d(x a(x και d(x b(x (3 Αν c(x a(x και c(x b(x τότε c(x d(x Θεώρημα.3.. Αν a(x, b(x όπως πριν, τότε υπάρχει μοναδικός μ.κ.δ των a(x, b(x, έστω d(x Επιπλέον, υπάρχουν θ(x, φ(x F[x] με d(x = θ(xa(x + φ(xb(x. Ορισμός.3.3. Εστω a(x, b(x F[x] όχι και τα δύο μηδέν. Τότε a(x = c p (x a p k (x a k, b(x = c p (x b p k (x b k, όπου p i (x μονικά ανάγωγα ανα δύο διάφορα, c, c F,a i, b i. θέτουμε e i = max{a i, b i } για κάθε i, και e(x = p (x e,, p k (x e k.το e(x F λέγεται ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (ε.κ.π των a(x, b(x και συμβολίζουμε εκπ (a(x, b(x = e(x Ιδιότητες : a(x, b(x, e(x F[x] όπως πριν τότε : ( Το e(x είναι μονικό ( a(x e(x και b(x a(x (3 Αν a(x c(x και b(x c(x τότε e(x c(x Παράδειγμα: Εστω a(x = (x (x, b(x = 3(x (x 3 (x 5, τότε εκπ (a(x, b(x = (x (x 3 (x 5 και μκδ (a(x, b(x = (x (x (x 5

.4 Ασκησεις 5.4 Ask seic Ασκηση. Βρείτε ( το μ.κ.δ(x +, x + ( το μ.κ.δ(x +, x Λύση : Για το (. Παρατηρούμε ότι x + = ( x 5 + = (x + ( (x 4 (x 3 + (x... + δηλαδή x + x +. Άρα μ.κ.δ(x +, x + = x +. Για το (. Εστω d(x =μ.κ.δ(x +, x. Από τον ορισμό του μ.κ.δ d(x x + και από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε d(x x + από το θεώρημα..5 έχουμε d(x x + (x,δηλαδή d(x και επειδή πρέπει d(x να είναι μονικό έχουμε d(x = Ασκηση. Εστω a(x, b(x, c(x F[x] με μ.κ.δ(a(x, b(x = Να δείξετε ότι ( αν a(x b(x c(x τότε a(x c(x ( αν a(x c(x και b(x c(x τότε a(x b(x c(x Λύση : Άρα Για το (. Από το θεώρημα..5 υπάρχουν θ(x, φ(x F[x] με = θ(xa(x + φ(xb(x. c(x = θ(xa(xc(x + φ(xb(xc(x. επειδή a(x b(x c(x έχουμε a(x b(x c(xφ(x. Επίσης a(x θ(xa(xc(x, άρα a(x θ(xa(xc(x + φ(xb(xc(x. Δηλαδή a(x c(x, άρα a(x c(x. Για το (. Επειδή b(x c(x a(xb(x a(xc(x a(xb(x θ(xa(xc(x επειδή a(x c(x ομοίως έχουμε a(xb(x φ(xb(xc(x από την. έχουμε a(xb(x c(x Παρατήρηση από τα παραπάνω προκύπτει το εξής ερώτημα: Εστω a(x, b(x F[x] με μ.κ.δ(a(x, b(x = από το θεώρημα..5 έχουμε ότι υπάρχουν θ(x, φ(x F[x] με = θ(xa(x + φ(xb(x. είναι τα θ(x, φ(x μοναδικά ; Η απάντηση είναι πως όχι γιατί εναλλακτικά θα μπορούσαμε να γράψουμε για κάθε f(x F[x] Άσκηση.4 = (θ(xf(xb(x a(x + (φ(x + f(x ( a(x b(x.

6 Πολυωνυμα (α Εστω φ(x F[x] a.b F, a b. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του φ(x με το (x a(x b (β Να βρεθούν όλες οι τιμές των c, d R τέτοιες ώστε το (x (x Να διαιρεί το x + x 7 + cx 4 + dx + Λύση για το (α: Για x = a φ(a = r a + r. Για x = b φ(b = r b + r. Αφαιρώντας κατά μέλη τις δύο τελευταίες σχέσεις και επειδή a b παίρνουμε ότι r = φ(a φ(b a b και r = bφ(a aφ(b a b.άρα r(x = φ(a φ(b bφ(a aφ(b x a b a b Λύση για το (β: ος τρόπος: Εφαρμόζουμε το (α για a =, b = και φ(x = x + x 7 + cx 4 + dx + άρα το υπόλοιπο r(x θα είναι της μορφής r(x = φ( φ( x φ( aφ( επίσης επειδή (x (x φ(x το υπόλοιπο r(x = άρα φ( φ( φ( aφ( x = φ( = φ( και φ( = φ( λύνοντας το σύστημα με αγνώστους φ(, φ( παίρνουμε φ( = φ( = αντικαθιστώντας έχουμε φ( = c + d + = και φ( = 4 + 8 + 6c + d + = όπου λύνοντας το σύστημα προκύπτει c = 3 4 και d = 37 4 ος τρόπος: Επειδή μ.κ.δ(x, x = λόγω της άσκησης. ισχύει ότι (x (x φ(x (x φ(x και (x φ(x και από τις βασικές ιδιότητες πολυωνύμων σελ;; έχουμε φ( = και φ( = οπότε λύνουμε το σύστημα όπως και στο ο τρόπο Άσκηση.8 (α Βρείτε τις ρίζες στο C του x 3 3x + 6x 5 (β Εστω m Z\{}. Δείξτε ότι για κάθε c R ο m δεν είναι πολλαπλή ρίζα του φ(x = x x 9 + c (γ Να βρεθούν όλες οι τιμές του a R τέτοιο ώστε το x 3x + a να διαιρεί το (x (x...(x Λύση για το (α: Το είναι ρίζα του του x 3 3x + 6x 5, άρα το (x διαιρεί το πολυώνυμο x 3 3x + 6x 5, άρα από την ευκλείδεια διαίρεση (λέγεται και ταυτότητα της διαίρεσης x 3 3x + 6x 5 = (x (x x + 5. Άρα οι ζητούμενες ρίζες είναι οι, + i 39, i 39 4 4

.5 Ριζες πολυωνυμων 7 (β Υπενθύμιση: Το r C είναι πολλαπλή ρίζα του φ(x αν και μόνο αν φ(r = φ (r =. Εχουμε φ (x = x 99 9x 8 = x 8 (x 9 9 και άρα για κάθε m Z\{} φ (m. Άρα δεν υπάρχει m Z\{} που να είναι πολλαπλή ρίζα. (γ Εχουμε x 3x + a (x (x...(x x 3x + a = (x r (x r, όπου r, r {,,..., } με r r Παρατήρηση (x k (x (x...(x Από την x 3x+a = (x r (x r κάνοντας τις πράξεις (ή άμεσα από τους τύπους Vieta προκύπτει r + r = 3 και a = r r. Άρα οι ζητούμενες τιμές του a είναι a = (3 r r όπου r =,,..., 4 (όχι 5 γιατί θα είχαμε (x 5 που όπως είπαμε δε διαιρεί το (x (x...(x επίσης όχι 5 < r < 3 γιατί προκύπτουν οι ίδιες τιμές 5 < 3 r < 3 και από τη παρατήρηση δε γίνεται και τέλος όχι r > 3 γιατί r + r = 3 όπου r, r {,,..., }.5 RÐzec poluwnômwn Ορισμός.5.. Αν r F και φ(x = a n x n +... + a x + a F[x]. Θα λέμε ότι το r είναι ρίζα του φ(x αν φ(r = δηλαδή a n r n +... + a r + a = Βασικές Ιδιότητες : ( Το x r F[x] διαιρεί το φ(x F[x] r είναι ρίζα του φ(x ( Εστω φ(x F[x], φ(x. Τότε το φ(x έχει το πολύ deg φ(x ρίζες του F (3 (Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας : Αν φ(x C[x], φ(x. τότε φ(x = c(x r (x r...(x r n όπου c, r,...r n C και n = deg φ(x (4 φ(x R[x], και r C τέτοιο ώστε φ(r = τότε φ( r = όπου r ο συζυγής του r. (Δηλαδή r = a bi αν r = a + bi με a, b R Ορισμός.5.. Αν r F και φ(x F[x]. Το r λέγεται πολλαπλή ρίζα του φ(x αν (x r φ(x.αν (x r φ(x και (x r φ(x τότε το r λέγεται απλή ρίζα του φ(x Παραδείγματα : ( το είναι απλή ρίζα του x 3 αφού x x 3 και (x x 3 ( το είναι πολλαπλή ρίζα του (x 3 (x 5 αφού (x (x 3 (x 5 Πρόταση.5.3. Εστω r F και φ(x F[x]. Τότε το r είναι πολλαπλή ρίζα του φ(x αν και μόνο αν φ(r = φ (r =,όπου φ (x η παράγωγος του φ(x

8 Πολυωνυμα Απόδειξη : ( Εστω r πολλαπλή ρίζα του φ(x.τότε (x r φ(x δηλαδή φ(x = (x r f(x όπου f(x F[x].Άρα φ(r =.Επειδή φ (x = (x rf(x + (x r f (x έχουμε φ (r =. ( Εστω φ(r = φ (r =.Από την ταυτότητα της διαίρεσης υπάρχουν q(x, r(x F[x] με (.3 φ(x = (x r q(x + r(x όπου r(x = r x + r, επειδή φ(r = αντικαθιστστωντας στην;; έχουμε (.4 παραγωγίζοντας την ;; έχουμε = φ(r = (r r q(r + r(r r(r = φ (x = (x rq(x+(x r q (x+r (x = φ (r = (r rq(r+(r r q (r+r (r r (r = r = (.5 άρα;;; φ (x = (x rq(x+(x r q (x+r (x = φ (r = (r rq(r+(r r q (r+r (r r (r = (.6 (.7 r x + = r x = x F r = Παραδείγμα/εφαρμογή : Για κάθε n το φ(x = x n έχει n διαφορετικές ρίζες στο C.Από το θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας r n = (x r (x r...(x r n, r i C. Θα δείξουμε ότι r i r j για κάθε i j, ή ισοδύναμα κάθε ρίζα του x n είναι απλή όμως από την προηγούμενη πρόταση μόλις δείξαμε ότι αυτό συμβαίνει αν και μόνο αν δεν υπάρχει r C με φ(r = φ (r = δηλαδή r n = = nr n που προφανώς δεν υπάρχει τέτοιο r..6 Polu numa kai PÐnakec Εστω A F ν ν. Ορίζεται ο A = A A και γενικά ο A n για κάθε n N. Επίσης ορίζεται για κάθε a i F ο πίνακας a i A n.επίσης έχουμε το άθροισμα a n A n + a n A n +... + a A + a I ν... που είναι ν ν πίνακας (a i F εδώ I ν =....... ο ταυτοτικός ν ν πίνακας... Ορισμός.6.. Εστω φ(x = a n x n +... + a x + a F[x] και A F ν ν. με φ(a συμβολίζουμε το πίνακα φ(a = a n A n + a n A n +... + a A + a I ν

Παράδειγμα: Αν A = ( 3 Παρατήρηση: Εστω θ(x, φ(xψ(x F[x] και A F ν ν. ( Αν ψ(x = θ(x + φ(x τότε ψ(a = θ(a + φ(a.6 Πολυωνυμα και Πινακες 9 και φ(x = 5x 4x + 6 τότε φ(a = 5A 4A + 6I ( Αν ψ(x = θ(x φ(x τότε ψ(a = θ(a φ(a Παράδειγμα:Αν έχουμε x = φ(xθ(x + φ(xχ(x, τότε A I ν = φ(aθ(a + φ(aχ(a, Άσκηση.6: Εστω θ(x, φ(x R[x] όπου θ(x = x + x φ(x = x 3 x + x. Να βρεθούν όλοι οι A F ν ν με θ(a = φ(a = Λύση : Θα βρούμε το μ.κ.δ(θ(x, φ(x. Εχουμε φ(x = (x (x + είναι γινόμενο μονικών ανάγωγων πολυωνύμων στο R[x]. Επίσης θ(x = (x (x +. Άρα μ.κ.δ(θ(x, φ(x = (x. Από το βασικό θεώρημα του μ.κ.δ υπάρχουν a(x, b(x R[x] με x = a(xφ(x + b(xθ(x, άρα για κάθε A F ν ν, A I ν = a(aφ(a + b(aθ(a. Αν θ(a = φ(a =, τότε A I ν = A = I ν Άσκηση.: Εστω A F ν ν διαγώνιος και φ(x F[x]. Να δείξετε ότι φ(a = αν και μόνο αν κάθε a i είναι ρίζα του φ(x a... a... Λύση : Παρατηρούμε ότι A = a....... = a.......... a ν... a ν και γενικά A n = a... a.......... a ν n = a n... a n.......... a n ν για κάθε n Z +, αφού ο A είναι διαγώνιος. Αν φ(x = φ n x n +... + φ x + φ, τότε από πριν : φ(a = φ n A n + φ n A n +... + φ A + φ I ν = = φ n = a n... a n.......... a n ν φ n a n... φ n a n.......... φ n a n ν +φ n + a n,... a n....... +...+φ... aν n φ n a n... φ n a n.......... φ n a n ν............. +...+ =

Πολυωνυμα φ... φ.......... φ = Άρα φ(a = φ(a i = για κάθε i φ(a... φ(a.......... φ(a ν Άσκηση.: Εστω A F ν ν και φ(x F[x] με μη μηδενικό σταθερό όρο. Να δείξετε ότι αν φ(a = τότε ο A είναι αντιστρέψιμος Λύση : Εστω φ(x = a n x n +... + a x + a με a τότε φ(a = φ(a = a n A n + a n A n +... + a A + a I ν = A [ a ( an A n + a n A n ] +... + a I ν = [ a ( an A n + a n A n ] +... + a I ν A = I ν }{{}}{{} B B Δηλαδή AB = BA = I ν, οπότε ο A είναι αντιστρέψιμος Άσκηση.: Εστω A F ν ν και φ(x F[x]. Να δείξετε ότι αν det(a I ν = τότε det (φ(a φ(i ν = Λύση : Για x =, η τιμή του πολυωνύμου φ(x φ( είναιι ίση με φ( φ( =.Άρα το x διαιρεί το φ(x φ(, δηλαδή υπάρχει θ(x F[x] : φ(x φ( = (x θ(x. Άρα φ(a φ(i ν = (A I ν θ(a, οπότε. det (φ(a φ(i ν = det ((A I ν θ(a = det(a I ν det (θ(a = }{{}.7 Polu numa kai Grammikèc ApeikonÐseic Εστω f : V V γραμμική απεικόνιση όπου V ένας F διανυσματικός χώρος.τότε ορίζεται η σύνθεση των συναρτήσεων f f : V V, την οποία θα συμβολίζουμε με f.ξέρουμε από τη Γραμμική Άλγεβρα Ι ότι η f είναι γραμμική συνάρτηση. Παράδειγμα: Εστω f : R R, f(x, y = (x + ( y, x y. Τότε f (x, y = f(x + y, x y = (3x, 3y Παρατήρηση :(f : ê, ê = και ( f : ê, ê ( 3 = όπου ê = (e 3, e η συνήθης βάση του R n, και παρατηρούμε ( ( 3 = δηλαδή (f : ê, ê = ( f 3 : ê, ê. Ομοια ορίζεται η σύνθεση f n = f f... f που είναι γραμμική απεικόνιση V V. Επίσης αν a F τότε η απεικόνιση af : V V με (af(v = af(v v V επίσης είναι }{{} n γραμμική.ακόμη αν η g : V V είναι γραμμική τότε ορίζεται η f + g : V V με (f + g(v = f(v + g(v,v V η οποία είναι γραμμική. Συμπέρασμα: αν a n,..., a, a F, τότε ορίζεται η απεικόνιση a n f n +... + a f + a V

.7 Πολυωνυμα και Γραμμικες Απεικονισεις και είναι γραμμική απεικόνιση ( V v V : V V η ταυτοτική απεικόνιση V (v = v για κάθε Ορισμός.7.. Αν φ(x = a n x n +... + a x + a F[x] και f : V V γραμμική απεικόνιση όπου V ένας F διανυσματικός χώρος με φ(f συμβολίζουμε τη γραμμική απεικόνιση φ(f = a n f n +... + a f + a V, φ(f : V V Σύνδεση των φ(f και φ(a Πρόταση.7.. Εστω f : V V γραμμική απεικόνιση, V ένας F πεπερασμένος διανυσματικός χώρος, â διατεταγμένη βάση του V και φ(x F[x]. Εστω A = (f : â, â (ο πίνακας της f ως προς τις βάσεις â και â των V και V. Τότε Απόδειξη Από Γραμμική Ι ξέρουμε ότι ( (f n : â, â = (f : â, â n = A n ( (cf : â, â = c (f : â, â = ca (3 ( V : â, â = I ν όπου dimv = ν φ(a = (φ(f : â, â (4 (f + g : â, â = (f : â, â + (g : â, â,όπου f, g : V V γραμμικές απεικονίσεις έστω τότε και άρα Παράδειγμα: φ(x = a n x n +... + a x + a φ(f = a n f n +... + a f + a V (φ(f(a : â, â = a n (f : â, â n +... + a (f : â, â + a I ν = a n A n +... + A x + a I ν = φ(a Άσκηση.: Εστω f : F 3 F 3 γραμμική απεικόνιση με (f : â, â = όπου â διατεταγμένη βάση του F 3. Εστω φ(x = x 3 + 3x +. Τότε από την προηγούμενη πρόταση φ(a = (φ(f : â, â, όπου A = (f : â, â, δηλαδή (φ(f : â, â = A + 3A + I 3 και κάνοντας τις πράξεις στο δεξί μέλος καταλήγουμε (φ(f : â, â = 4 6 5 3,

Πολυωνυμα Υπενθύμιση από Γραμμική Ι (Γραμμική απεικόνιση - Πίνακας αναπαράστασης: Εστω f : R R με f(x, y = (x y, x + 4y. Εστω ê η συνήθης βάση του R Θεωρούμε τις εξής διατεταγμένες βάσεις του R, (δηλαδή ê = (e, e όπου e = (, και e = (, και â = (α, α όπου α = (, και α = (,. Υπολογισμός του A = (f : ê, ê: η πρώτη στήλη του A δίνεται από τους συντελεστές f(e = ( f ((, = (, = e + e. Άρα η πρώτη στήλη του A είναι. Για τη δεύτερη στήλη του A( ομοίως f(e = f ((, ( = (, 4 = e + 4 e. Άρα η δεύτερη στήλη του A είναι. Οπότε A = 4 4 Υπολογισμός του B = (f : â, â: η πρώτη στήλη του B δίνεται από τους συντελεστέσ(το πως βρίσκουμε τους συντελεστές το εξηγούμε αμέσως ( μετά f(a = f ((, = (, 5 = 5 5/ a 5 a. Άρα η πρώτη στήλη του B είναι. Για τη δεύτερη στήλη του B 5/ ομοίως ( f(a = f ((, ( = (, 3 = a + 5 a. Άρα η δεύτερη στήλη του A είναι. Οπότε B = 4 4 Υπολογισμός συντελεστών για την πρώτη στηλη του B = (f : â, â: f(a = f ((, = (, 5 = λ a + λ a (, 5 = λ (, + λ (, άρα έχουμε λ + λ = και λ λ = 5 λ = 5, λ = 5 ομοίως εργαζόμαστε και για τους συντελεστές για τη δεύτερη στήλη. ( 5/ / Παράδειγμα : Εστω f : R R τέτοια ώστε (f : â, â, όπου 5/ 5/ â = (α, α, α = (, και α = (, Εστω (x, y R n.θέλουμε να βρούμε λ, λ R n με (x, y = λ a + λ a = λ (, + λ (,. Δηλαδή x = λ + λ και y = λ λ και λύνοντας το σύστημα ως προς λ, λ έχουμε λ = x + y, λ = x y. Τώρα f(x, y = f(λ a + λ a = λ f(a + λ f(a = x+y f(a + x y f(x, y = x + y ( 5 a 5 a + x y ( a + 5 a = ( x + 3y a + f(a δηλαδή ( 5y a με άλλο τρόπο (Από Γραμμική Ι: Εστω (x, y = λ a +λ a. Εστω f(x, y = µ a +µ a. Τότε : ( ( ( ( ( µ 5/ / λ 5/ / x+y = = x y µ 5/ 5/ λ 5/ 5/

Kefˆlaio Idiotimèc -IdiodianÔsmata Ιδιοτιμές -Ιδιοδιανύσματα Γραμμικών Απεικονίσεων Στην ενότητα αυτή θα θεωρούμε χωρίς να το ξαναγράψουμε ότι : ( F = R ή C. ( V είναι ένας F διανυσματικός χώρος με dimv < Κίνητρο Ορισμού : Εστω f : V V γραμμική απεικόνιση, â διατεταγμένη βάση του V.Τότε ο πίνακας (f : â, â είναι διαγώνιος αν και μόνο αν υπάρχουν λ,..., λ ν F τέτοια ώστε f(a i = λ i a i, i =,,..., ν όπου â = {a,..., a ν } Ορισμός..3. Εστω f : V V γραμμική απεικόνιση. Αν υπάρχουν λ F και v V v τέτοια ώστε f(v = λv, θα λέμε ότι το λ είναι ιδιοτιμή της f και το v ένα ιδιοάνυσμα της f που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ (Παράδειγμα : Εστω f : R R, με f(x, y = (x + y, 3x + y. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα. Λύση Εστω (x, y R. Τότε f(x, y = λ(x, y (x + y, 3x + y = (λx, λy x + y = λx και 3x + y = λy δήλαδή θέλουμε τη λύση του γραμμικά ομογενούς συστήματος ως προς x, y ( λx + y =, ( 3x + ( λy = Άρα( από Γραμμική Άλγεβρα Ι ξέρουμε ότι έχει μη μηδενική λύση αν και μόνο αν: λ det = ( λ( λ 6 = 3 λ

4 Ιδιοτιμες -Ιδιοδιανυσματα λ 3λ 4 = λ =, λ = 4. Άρα οι ιδιοτιμές είναι δύο, οι λ =,λ = Υπολογισμός Ιδιοδιανυσμάτων : Για λ = το σύστημα (* γίνεται x + y =, 3x + 3y = x + y = δηλαδή οι λύσεις του συστήματος είναι (x, x, x R.Άρα τα ιδιοδιανύσματα της f που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή λ = είναι τα (x, xr, x Για Για λ = 4 το σύστημα (* γίνεται 3x + y =, 3x y = 3x + y = δηλαδή οι λύσεις του συστήματος είναι ( x, 3 x, x R.Άρα τα ιδιοδιανύσματα της f που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή λ = 4 είναι τα ( x, 3 x, x (Παράδειγμα : Εστω f : R 4 R 4, με f(x, y, z, w = (x + w, y + z, 3z + w, x + w. Είναι το ιδιοτιμή της f; Ειναι το (,,, ιδιοδιάνυσμα της f; Λύση το είναι ιδιοτιμή της f αν και μόνο αν υπάρχει (x, y, z, w R 4 :(x, y, z, w (,,, με f(x, y, z, w = (x, y, z, w (x + w, y + z, 3z + w, x + w = (x, y, z, w x + w = x y + z = y 3z + w = z x + w = w όπου η λύση του παραπάνω συστήματος είναι z = w = x = και y R. Δηλαδή υπάρχει μη μηδενική λύση άρα το είναι ιδιοτιμή. Υπολογίζοντας έχουμε :f(,,, = (3,,, 3. Είναι σαφές ότι δεν υπάρχει λ R με (3,,, 3 = λ(,,,. Άρα δεν είναι ιδιοδιάνυσμα. (3Παράδειγμα : Εστω f : R R, με f(x, y = ( y, x. Να δειχθεί ότι η f δεν έχει ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα. Ποια η γεωμετρική ερμηνεία ; Λύση Εστω λ R,v = (x, y R. Τότε f(v = λv (y, x = (λx, λy y = λx και x = λy δήλαδή θέλουμε τη λύση του γραμμικά ομογενούς συστήματος ως προς x, y λx y =,

5 ( x λy = Άρα( από Γραμμική Άλγεβρα Ι ξέρουμε ότι έχει μη μηδενική λύση αν και μόνο αν: λ det = λ λ + = Άρα το σύστημα (** δεν έχει μη μηδενική λύση δηλαδή η f δεν έχει ούτε ιδιοτιμή και ούτε ιδιοδιάνυσμα. (3Παρατήρηση : Εστω g : R R γραμμική απεικόνιση, λ R και v R v τέτοια ώστε g(v = λv, δηλαδή το v είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της g. Εστω U R, U = v = {µv R µ R}.Τότε το U είναι μια ευθεία στο R που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι παράλληλη στη διεύθυνση του v. Εχουμε g(µv = µg(v = µλv U.Δηλαδή αν u U, τότε g(u U, άρα g(u U.Για την f της άσκησης :f(, = (, και f(, = (,, που σημαίνει γεωμετρικά ότι η f στρίβει το επίπεδο κατά 9 ανάποδα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού.αν v είναι ιδιοδιάνυσμα της f θα πρέπει λόγω της g(u U να ισχύει f(u U, όπου U = v.αλλά f(u κάθετης ευθείας στο v.άρα f(u = {}. Αυτό είναι άτοπο αφού η f είναι - Πρόταση..4. Εστω f : V V γραμμική απεικόνιση, λ F,A = (f : â, â όπου â μια διατεταγμένη βάση του V (με dimv = ν.τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα ( Η λ είναι ιδιοτιμή της f. ( Ker(f λ V {} (3 det(a λi ν = {} Απόδειξη ( ( Εστω λ ιδιοτιμή της f. Τότε υπάρχει v V, v τέτοιο ώστε f(v = λv. Δηλαδή f(v λv = (f λ V (v = δηλαδή v Ker (f λ V οπότε Ker(f λ V {} ( (3 Εχουμε τη γραμμική απεικόνιση (f λ V : V V και, Ker(f λ V {} άρα η (f λ V όχι αντιστρέψιμη. Επειδή η (f λ V είναι γραμμική απεικόνιση V V, με det (f λ V : â, â =, όμως (f λ V : â, â = (f : â, â λ ( V : â, â = A λi ν (3 ( Αφού det(a λi ν = {} και A λi ν = (f λ V : â, â έχουμε ό- τι η (f λ V -, άρα Ker(f λ V {} δηλαδή υπάρχει v V, v ώστε (f λ V (v = επομένως f(v = λv. Άρα λ ιδιοτιμή (αφού v Ορισμός..5. Εστω f : V V γραμμική απεικόνιση,και λ F ιδιοτιμή της f. Θέτουμε V f (λ = Ker(f λ V. Το V f (λ είναι υπόχωρος του V και λέγεται υπόχωρος της f που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ

6 Ιδιοτιμες -Ιδιοδιανυσματα Παρατήρηση : V f (λ = {v V : v ιδιοδιάνυσμα της f που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ} {} (Παράδειγμα : Να βρεθεί μια βάση για κάθε υπόχωρο της γραμμικής απεικόνισης f : R 3 R 3, f(x, y, z = (x y + z, 3y + 4z, x + 3z Υπολογισμός Ιδιοτιμών :εδώ ας χρησιμοποιήσουμε το (3 της πρότασης.αν ê είναι η συνήθης βάση του R 3, τότεεύκολα επαληθεύεται ότι ο πίνακας A = (f : ê, ê είναι ο A = 3 4. Τώρα 3 det(a λi 3 = det λ 3 λ 4 3 λ ( 3 λ 4 = ( λ det 3 λ Άρα det(a λi 3 = ( λ ( λ 9 + 8 = λ =, λ =.Άρα οι ιδιοτιμές είναι λ = ή λ = Υπολογισμός Ιδιοχώρων : (i V f ( : f(x, y, z = (x, y, z = ( λ (( 3 λ(3 λ + 8 y + z = 4y + 4z = y + z = δηλαδή αν και μόνο αν y + z =. Άρα V f ( = {(x, y, z R 3 y + z = }. Άρα (x, y, z V f ( (x, y, z = (x, z, z = x(,, + z(,,. Επομένως V f ( = (,,, (,,. Επειδή τα (,,, (,, είναι γραμμικά ανεξάρτητα, αυτά είναι βάση του V f ( (ii V f ( : f(x, y, z = (x, y, z x y + z = y + 4z = y + 4z = δηλαδή αν και μόνο αν y+z = και x y+z =. Άρα V f ( = {(x, y, z R 3 y+z =, x y+z = }. Άρα (x, y, z V f ( (x, y, z = (x, x, x = x(,,. Επομένως V f ( = (,,. Επειδή τα (,,, (,, Άρα μια βάση του V f ( είναι η {(,, }

7 (Παράδειγμα : Να βρεθεί μια βάση για κάθε ιδιόχωρο της γραμμικής απεικόνισης f : R 3 R 3, f(x, y, z = (,, x + y Ακριβώςόπως πριν, αν A = (f : ê, ê όπου ê η συνήθεις βάση του R A =. Εχουμε det(a λi 3 = det λ λ λ Άρα det(a λi 3 = λ =.Άρα η ιδιοτιμή είναι λ = Υπολογισμός Ιδιοχώρου : V f ( : f(x, y, z = (x, y, z = = x + y = = λ 3 δηλαδή αν και μόνο αν x + y =. Άρα V f ( = {(x, y, z R 3 x + y = }. Άρα (x, y, z V f ( (x, y, z = (x, x, z = x(,, + z(,,. Επομένως V f ( = (,,, (,,. Επειδή τα (,,, (,, είναι γραμμικά ανεξάρτητα, αυτά είναι βάση του V f ( (3Παράδειγμα : Να βρεθούν οι ιδιοτιμές των γραμμικών απεικονίσεων και οι διαστάσεις των ιδιοχώρων. (i g : R [x] R [x], g (φ(x = φ(x (ii h : R [x] R [x], h (φ(x = φ (x Εδώ συμβολίζουμε R [x] = {ax + bx + c R[x] a, b, c R} Λύση για το (i. ος τρόπος Εστω φ(x = ax + bx + c. Τότε g (φ(x = λφ(x φ(x = λφ(x = λa λa + b + c = (a + b + cx = λ(ax + bx + c a + b + c = λb a + ( λb + c = Το = λc a + b λc = παραπάνω ομογενές σύστημα με αγνώστους ως προς a, b, c έχει μη μηδενική λύση αν και μόνο αν det λ λ λ = λ( λ( λ = λ =, λ =

8 Ιδιοτιμες -Ιδιοδιανυσματα Υπολογισμός Ιδιοχώρου V f ( : a + b + c = Για λ = το παραπάνω σύστημα γίνεται a + ( b + c =. a + b c = Άρα V g ( = {ax + bx + c R[x] a + b + c = }.Μια βάση του του V g ( είναι το σύνολο {x x, x + x } (γιατί ;;.Άρα dimv g ( = (όμοια βρίσκουμε dimv g ( = και αφήνεται σαν άσκηση ος τρόπος με την Πρόταση. Μια βάση του R [x] είναι η â = {, x, x }. Ο αντίστοιχος πίνακας της g είναι : (Θυμηθείτε g (φ(x = φ(x Άρα A = Εχουμε g( = x = x = + x + x g(x = x = x = + x + x g(x = x = x = + x + x det(a λi 3 = det λ λ λ = λ ( λ Άρα det(a λi 3 = λ =, λ =. Στη συνέχεια εργαζόμαστε όπως με το ο τρόπο Λύση για το (ii ος τρόπος Θεωρούμε τη διατεταγμένη βάση του R [x] â = {, x, x }. και υπολογίζουμε το πίνακα A (h : â, â έχουμε : (Θυμηθείτε h (φ(x = φ (x Άρα A = det h( = = + x + x h(x = = + x + x h(x = x = + x + x. Ξέρουμε λ R ιδιοτιμή της h det(a λi 3 = λ λ λ Υπολογισμός Ιδιοδιανυσμάτων για λ = : = ( λ 3 = λ =.

9 Εστω φ(x = ax + bx + c. Τότε g (φ(x = φ(x φ (x = ax + b = a =, b = a = b =. Άρα το σύνολο των ιδιοδιανυσμάτων που αντιστοιχούν στο λ =, είναι: c R [x] δηλαδή τα μη μηδενικά σταθερά πολυώνυμα. ος τρόπος Εστω φ(x = ax + bx + c. Τότε g (φ(x = λφ(x φ (x = λφ(x λa + b + c = ax + b = λ(ax + bx + c a λb + c = Το παραπάνω ομογενές σύστημα με a + b λc = αγνώστους ως προς a, b, c έχει μη μηδενική λύση αν και μόνο αν λ det λ = λ( λ( λ = λ =. Άρα η h έχει μοναδική λ ιδιοτιμή λ =. Στη συνέχεια για να βρούμε ιδιοδιανύσματα εργαζόμαστε όπως με το ο τρόπο. Ιδιοτιμές -Ιδιοδιανύσματα Πινάκων (Παρατήρηση - Κίνητρο : Εστω A F ν ν και γ A : F ν F ν η γραμμική απεικόνιση με γ A (X = A X, όπου X F ν ν,τότε παρατηρούμε ότι λ ιδιοτιμή της γ A υπάρχει X : F ν, X ν : γ A (X = λ X A X = λ X Ορισμός..6. Εστω A F ν ν. Αν υπάρχουν λ F και X F ν X ν τέτοια ώστε A X = λ X, θα λέμε ότι το λ είναι ιδιοτιμή του A και το X είναι ιδιοδιάνυσμα του A που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ Παρατήρηση : Εστω γ A : F ν F ν η γραμμική απεικόνιση με γ A (X = A X. Τότε το λ F είναι ιδιοτιμή του A αν και μόνο αν είναι ιδιοτιμή του γ A. Ομοια για τα ιδιοδιανύσματα. Πρόταση..7. Εστω A F ν ν και λ F,.Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα ( Η λ είναι ιδιοτιμή του A. ( X F ν X ν, A X = λ X (3 det(a λi ν = {} Απόδειξη ( ( Άμεσο. ( (3 Εχουμε X F ν X ν, A X = λ X Άρα (A λi ν X = ν ν.

Ιδιοτιμες -Ιδιοδιανυσματα Το τετραγωνικό, γραμμικό, ομογενές σύστημα της προηγούμενης εξίσωσης έχει μη μηδενική λύση αν και μόνο αν : det(a λi ν = {} Ορισμός..8. Εστω A F ν ν και λ F μια ιδιοτιμή του A. Θέτουμε V A (λ = {X F ν A X = λ X} που ονομάζεται ιδιόχωρος του A που αντιστοιχεί στο λ Παρατήρηση :V A (λ = {X F ν X ιδιοδιάνυσμα του Α }. 5 Παράδειγμα (: Εστω 5 5 R4 4. Είναι το 5 ιδιοδιάνυσμα του Α;Είναι το 6 ιδιοτιμή του Α; Λύση Ελέγχουμε αν ισχύει ο ορισμός που δώσαμε. Εχουμε. Επειδή, έχουμε ότι το 5 5 5 5 είναι ιδιοδιάνυσμα του A (που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή - Για το επόμενο ερώτημα ελέγχουμε αν ισχύει το (3 της 6 5 προηγούμενης πρότασης. Εχουμε det(a 6I 4 = det 6 5 5 6 = 5 6 5 5 5 5 5 5 5 5 = (Ξέρουμε ότι αν στην ορίζουσα πίνακα έχουμε δύο ίσες γραμμές είναι ίση με μηδέν. Άρα 6 ιδιοτιμή Παράδειγμα (: Εστω A = ιδιοδιανύσματα του Α όταν (i F = R (ii F = C ( R. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα =

Λύση ( για το (i Εστω F = R Ελέγχουμε αν υπάρχει λ R με det(a λi =. Εχουμε λ det = ( λ( + λ ( = λ λ + Δεν υπάρχει λ R που να είναι ιδιοτιμή του Α. Λύση για το ((ii Εστω F = C Ελέγχουμε αν υπάρχει λ C με λ det(a λi =. Εχουμε από πριν det = λ λ +. Άρα det(a λi = λ = i ή λ = i. Τα ιδιοδιανύσματα για λ = i: ( x Το σύστημα (A ii = y είναι το ( ix y = x +( iy = ( ix y = ( Τα ιδιοδιανύσματα είναι : x ( ix, x C {} Τα ιδιοδιανύσματα για λ = i: ( x Το σύστημα (A + ii = y είναι το ( + ix y = x +( + iy = ( + ix y = ( Τα ιδιοδιανύσματα είναι : x ( + ix, x C {} Παράδειγμα (3: Να βρεθεί μια βάση για κάθε ιδιόχωρο του A = R 3 3 Ιδιοτιμές: λ R, det(a λi 3 =. Εχουμε det(a λi 3 = det 4 λ λ 4 λ = ( λ λ 4 λ = ( λ(λ 5λ + 6 = (λ (λ 3 Άρα οι ιδοτιμές είναι λ =, λ = 3 Τα ιδιοδιανύσματα για λ = :

Ιδιοτιμες -Ιδιοδιανυσματα Το σύστημα (A + I 3 x y z = 3 είναι το x +y +z = x y z = y = z = x +y +z = x Τα ιδιοδιανύσματα είναι :, x R {}. Ετσι V A ( = Μια βάση είναι το μονοσύνολο. Τα ιδιοδιανύσματα για λ = 3: Το σύστημα (A + 3I 3 x y z = 3 είναι το x R 3 x R Άρα V A (3 = x +y + = x y z = x +y +z = x x R 3 x R x x +y = y +z =. Μια βάση είναι το μονοσύνολο Πρόταση..9. Εστω A F ν ν, λ F, X F ν φ(x F[x]. Αν το λ είναι ιδιοτιμή του Α με αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα το X, τότε το φ(λ είναι ιδιοτιμή του φ(a και το X είναι ένα αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα Παράδειγμα : Εστω φ(x = x 3 + 5, αν το είναι ιδιοτιμή του A, τότε το 3 + 5 είναι ιδιοτιμή του φ(a = A 3 + 5I ν Απόδειξη Πρότασης Εστω AX = λx, X F ν X, λ F παρατηρούμε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n A n X = λ n X. Πράγματι για n = ισχύει. Εστω ότι ισχύει για κάποιο n N δηλαδή ότι A n X = λ n X. Τότε A n+ X = A n AX = λa n X = λ n+ X. Άρα επαγωγικά ισχύει για κάθε n N. Εστω φ(x = a m x m + a m x m +... + a x + a, a i F. Τότε φ(ax = (a m A m +...+a A+a I ν X = a m A m X+...+a AX+a I ν X = a m λ m X+...+a λx+a X Επομένως (. φ(ax = (a m λ m +... + a λ + a X = φ(λx

. Χαρακτηριστικο Πολυωνυμο Πινακα 3 Επειδή, ως ιδιοδιάνυσμα, X λόγω της (* έπεται το ζητούμενο Είδαμε ότι αν λ F, A F ν ν, τότε λ ιδιοτιμή του Α αν και μόνο αν det(a λi ν =. Qarakthristikì Polu numo PÐnaka Εστω A F ν ν. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Α είναι το χ A (x = det(a xi ν Παρατήρηση : Το λ F είναι ιδιοτιμή του A F ν ν αν και μόνο αν χ A (λ = det(a λi ν =, δηλαδή λ είναι ρίζα του χ A (x. ( ( 3 x 3 Παράδειγμα ( : Αν A =, τότε χ A (x = det(a xi = det x ( a b ( x( x 3 = x 3x. Γενικά αν τότε χ c d A (x = x (a+dx+ad bc και αφήνεται ως άσκηση. 3 Παράδειγμα ( :Αν A = R 3 3, τότε χ A (x = det(a xi 3 = 4 x 3 det x = ( x x x ( 3 4 x = 4 x ( x( x( x + 3(4 x 3( 4 = ( + x( + x( x + 6x + = x 3 x x + 36. =.αʹ Ιδιότητες του χ A (x Υπενθύμιση Εστω A F ν Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Α είναι το a x a a 3 a ν a a x a 3 a ν χ A (x = det(a xi nu = det.... a ν a ν a ν3 a νν x Ιδιότητες : (i Αν ο Α είναι ανω τριγωνικός ή κάτω τριγωνικός δηλαδή

4 Ιδιοτιμες -Ιδιοδιανυσματα a a... a νν τότε ή a a... a νν χ A (x = (a x... (a νν x (ii χ A t(x = χ A (x, όπου A t ο ανάστροφος του A ( B C (iii Εστω A = F D ν ν, D F ν ν, C F ν ν, τότε χ A (x = χ B (x χ D (x Παράδειγμα (όμοιο με την άσκηση.6 : Εστω A = R 4 4 Να υπολογιστεί ( το χ A (x. Λύση. Εστω A = R, B = ( B C Τότε A =.Από το (iii των ιδιοτήτων D ( 4 3 a b c d 4 3 ( a b R, C = R c d. χ A (x = χ B (x χ D (x ( x Εχουμε: χ B (x = det(b xi = det = ( x x = x 4x + 3 = (x (x 3. χ D (x = det(d xi = ( x(3 x. Επειδή ο D είναι κάτω τριγωνικός (ιδιότητα (i,άρα χ A (x = (x (x (x 3. Απόδειξη των ιδιοτήτων (i Εστω A = a a... άνω τριγωνικός, τότε χ A(x = det(a a νν

. Χαρακτηριστικο Πολυωνυμο Πινακα 5 a x a x xi ν = det... = (a x(a x...(a νν x, αφού a νν x A xi ν άνω τριγωνικός (εφαρμόσαμε ιδιότητα ορίζουσας για τριγωνικούς πίνακες,από Γραμμική Ι (ii Υπενθυμίζουμε από Γραμμική Ι :αν B F ν ν, τότε det B = det B t, καθως (λb + µc t = λb t + µc t Ετσι χ A (x = det(a xi ν = det(a xi ν t = det(a t xiν t = det(a t xi ν χ t A (x (iiiυπενθύμιση από Γραμμική Ι : Εστω A, B, C, D όπως στην ιδιότητα (iii.τότε :det A = det B det D. Απόδειξη της υπενθύμισης : Θα δείξουμε αρχικά το ζητούμενο στην ειδική( περίπτωση όπου B = I ν ή D = I ν. Εστω B = I ν θα δείξουμε ότι det A = Iν C det = det D. Θα κάνουμε επαγωγή ως προς ν D. Για ν =, det A = ( {} C det = det D. (κάναμε ανάπτυγμα Laplace ως προς τη πρώτη στήλη ν D ( Iν C Εστω ότι ισχύει για ν στη θέση του ν, ν. τότε det A = det = ( D Iν C det (πάλι κάναμε ανάπτυγμα Laplace ως προς τη πρώτη στήλη όπου C D έχει ληφθεί ( από το C με διαγραφή της πρώτης γραμμής του. Η επαγωγική υπόθεση δίνει Iν C ότι det = det D. Ομοια αποδεικνύεται η άλλη περίπτωση (D = I D ν. Θα δείξουμε ( τώρα την γενική ( περίπτωση ( της υπενθύμισης. Παρατηρούμε ότι B C Iν B C A = = άρα D ( D ( I ν ( B C Iν B C det A = det = det det = det D det B από την D D I ν ειδική περίπτωση που αποδείξαμε προηγουμένως. Απόδειξη του (iii συνέχεια : με βάση την υπενθύμιση έχουμε ( B xiν C χ A (x = det = det(b xi D xi ν det(d xi ν = χ B (xχ D (x. ν Άλλες ιδιότητες : Εστω A F ν ν. (i ο βαθμός του χ A (x είναι ν και ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής είναι το ( ν (ii ο σταθερός όρος του χ A (x είναι ίσος με det A, δηλαδή χ A ( = det A (iii ο συντελεστής του x ν είναι ίσος με ( ν (a + a +... + a νν, A = (a ij.

6 Ιδιοτιμες -Ιδιοδιανυσματα Πόρισμα: ο A είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν χ A ( Παραδείγματα: ( ( a c a x c (i Εστω A = F b d. Τότε χ A (x = det(a xi = det = b d x (a x(d x cb = x (a + dx + ad bc. Παρατηρούμε ότι πράγματι χ A ( = ad bc = det A (ii Εστω A F με χ A (x = x 5 6x 4 + 4x 3. Εχουμε det A = 3 ιδιότητα (ii. Επίσης, αν A = (a i,j,τότε 6 = ( 5 (a + a +... + a 55 a + a +... + a 55 = 6 (ιδιότητα (iii Απόδειξη των ιδιοτήτων (ii χ A (x = det(a xi ν, θέτουμε όπου x = και παίρνουμε χ A ( = det A (i και (iii Θα χρησιμοποιήσουμε το εξής λήμμα : χ A (x = (a x(a x...(a νν x + β(x όπου deg β(x ν Από το λήμμα είναι άμεσο ότι ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής του χ A (x είναι ίσος με ( ν καθώς και ότι ο συντελεστής του x n είναι ίσος με το συντελεστή του x n στο (a x(a x...(a νν x, παρατηρούμε ότι ο συντελεστής αυτός είναι ίσος με ( ν (a +... + a νν. Μένει ποιπόν η απόδειξη του λήμματος : Παρατήρηση Εστω B = (b ij ένας ν ν πίνακας τέτοιος ώστε κάθε στοιχείο είναι πολυώνυμο βαθμού το πολύ. Τότε deg(det B ν Απόδειξη Παρατήρησης: Με επαγωγή στο ν. Για ν =, προφανώς ισχύει, έστω ότι ισχύει όταν ο B έχει μέγεθος ν, ν Εστω B ij ο πίνακας που προκύπτει από τον B αν διαγράψουμε την i γραμμή και j στήλη του B.Κάνοντας ανάπτυγμα Laplace ως προς τη πρώτη γραμμη του B παίρνουμε ( det B = b det B b det B +... + ( ν+ b ν B ν. Τώρα κάθε B ij είναι ένας (ν (ν πίνακας. Από την επαγωγική υπόθεση έχουμε deg(det B ij ν.τότε από την ( έχουμε deg(det B ij + (ν = ν. Απόδειξη του λήμματος : Με ( επαγωγή ως προς ν : a x b Για ν = ισχύει αφού det c d x το λήμμα για ν στη θέση του ν. Εστω B = A xi ν. = (a x(b x bc.υποθέτουμε ότι ισχύει }{{} β(x

. Χαρακτηριστικο Πολυωνυμο Πινακα 7 Εχουμε χ A (x = det B = a x a a 3 a ν a a x a 3 a ν a x a 3 a ν det........ = (a x det.... a a ν a ν a ν3 a νν x ν a ν3 a νν x a det B + a 3 det B 3... + ( ν+ a ν det B ν = (a xχ A (x a det B + a 3 det B 3... + ( ν+ a ν det B ν Κάναμε ανάπτυγμα Laplace ως προς τη πρώτη γραμμή, στη συνέχεια χρησιμοποιούμε την επαγωγική μας υπόθεση οπότε = (a x ((a x... (a νν x + β (x a det B +a 3 det B 3...+( ν+ a ν det B ν όπου deg β (x ν 3. Επομένως μένει να δείξουμε ότι για κάθε i, deg det B i ν. a a ν Παρατηρούμε ότι B =.... Η πρώτη στήλη του B είναι σταθερά a ν a νν x πολυώνυμα. Αναπτύσσοντας την det B ως προς τη στήλη αυτή και εφαρμόζοντας την Παρατήρηση, έχουμε deg det B ν. Ομοια τα B i, i. Άσκηση.α Εστω A = (a ij F νν : j =,,..., ν ισχύει ν i= a ij =. Τότε υπάρχει X F ν, X : AX = X. Λύση Θέλουμε να δείξουμε ότι :. είναι ιδιοτιμή του A, θεωρούμε τον ανάστροφο A t = a a a ν.... a ν a ν a νν A t, πράγματι παρατηρούμε ότι a a a ν.... αρκεί να δείξουμε ότι το a ν a ν a νν. =. είναι ιδιοτιμή του ανάστροφου ν i= a i. ν i= a iν = Υπενθύμιση: λ F είναι ιδιοτιμή του A αν και μόνο αν X F ν, X : AX = λx Άσκηση.5 Εστω λ µ δύο ιδιοτιμές μιας γραμμικής απεικόνισης f : V V με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα u, v. τότε (i Τα u, v είναι γραμμικά ανεξάρτητα (ii Για κάθε a, b F\{}, το au + bv δεν είναι ιδιοδιάνυσμα της f.

8 Ιδιοτιμες -Ιδιοδιανυσματα Λύση (i. Εστω a, b F με au+bv = V. Τότε f(au+bv = f( V af(u+bf(v = V όπου χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι f γραμμική, επιπλέον επειδή u, v ιδιοδιανύσματα της f, η τελευταία σχέση γίνεται aλu + bµv = V. Από την au+bv = V aλu+bλv = V και αφαιρώντας από την aλu + bµv = V παίρνουμε b(µ λ = V. Επειδή v V (ως ιδιοδιάνυσμα από την τελευταία έπεται b =, άρα au = V και επειδή u V (ως ιδιοδιάνυσμα παίρνουμε a =, άρα u, v είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Λύση (ii. Εστω ότι υπάρχει ξ F με f(au + bv = ξ(au + bv. Τότε af(u + bf(v = ξaξbv ( aλu + bµv = ξau + ξbv. Από το ερώτημα (i ξέρουμε πως τα u, v είναι γραμμικά ανεξάρτητα, άρα από το (* aλ = ξa και bµ = ξb. Από την υπόθεση, a, b, άρα λ = ξ και µ = ξ λ = µ. Άτοπο. Άσκηση.8 α Εστω A αντιστρέψιμος. Το λ είναι ιδιοτιμή του A λ ιδιοτιμή του A Εστω λ F. Εστω λ ιδοτιμή του A. Επειδή A αντιστρέψιμος έχουμε λ, αφού det A = χ A ( (δηλαδή όχι ρίζα του χ A (x. Τώρα έστω AX = λx, X F ν, X. Τότε A (AX = A λx X = A λx A X = λx αφού λ και επειδή X, X F ν το λ ιδιοτιμή του A Από πριν το /λ είναι ιδιοτιμή του ( A, δηλαδή το λ είναι ιδιοτιμή του A, δηλαδή το λ είναι ιδιοτιμή του A. Άσκηση.9 Βρείτε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο, τις ιδιοτιμές και μια βάση για κάθε ιδιόχωρο του A = R4 4. Λύση χ A (x = det(a xi 4 = det στήλη παίρνουμε χ A (x = x det ( x det x x x x x x x x αναπτύσσοντας ως προς τη πρώτη det x x = +( x( x ( x (+ det = x x (x (x = (x. Άρα χ A (x = (x. Επομένως οι ιδιοτιμές είναι λ =, λ =

. Χαρακτηριστικο Πολυωνυμο Πινακα 9 Βάσεις για λ = : V A ( = {X R 4 (A I 4 X = }. Εχουμε (A + I 4 x x x 3 x 4 = 4 είναι το x +x +x 3 +x 4 = x x +x 3 +x 4 = x +x x 3 +x 4 = x +x +x 3 x 4 = x + x 4 = x + x 3 = Επομένως X = Ετσι V A ( = γιατί αν x x x 3 x 4 λ =, x x x x + µ = x. Τα = Άρα μια βάση του V A ( είναι το σύνολο + x,,. όπου x, x R. είναι γραμμικά ανεξάρτητα λ = µ = Βάσεις για λ = : Ομοίως V A ( = {X R 4 (A + I 4 X = }. Εχουμε x + x 4 = x + x 3 = Επομένως X = x x x 3 x 4 = x x x x = x. + x. όπου x, x R.

3 Ιδιοτιμες -Ιδιοδιανυσματα Ετσι V A ( =,. Τα είναι γραμμικά ανεξάρτητα Άρα μια βάση του V A ( είναι το σύνολο Άσκηση.34 Σωστό ή Λάθος -Ζητείται αιτιολόγηση,,. (i λ ιδιοτιμή του A F ν ν, µ ιδιοτιμή του B F ν ν, λ + µ ιδιοτιμή του A + B (ii λ ιδιοτιμή του A F ν ν, µ ιδιοτιμή του B F ν ν, λ µ ιδιοτιμή του A B (iii Κάθε A R έχει τουλάχιστον μια πραγματική ιδιοτιμή (iv Κάθε A R 3 3 έχει τουλάχιστον μια πραγματική ιδιοτιμή (v Αν το είναι ιδιοτιμή του A τότε το είναι ιδιοτιμή του A + 3I ν (vi Εστω A R 3 3 με χ A (x = (x (x 5. Τότε υπάρχει γραμμική απεικόνιση f : R 3 R 3 και διατεταγμένη βάση â του R 3 με f(,, = 3(,, και (f : â, â = A (vii Αν το - είναι ιδιοτιμή του A τότε υπάρχει X F ν, X, A X = X. (viii Αν το είναι ιδιοτιμή του A τότε το είναι ιδιοτιμή του A Λύση (iλάθος ( ( Αντιπαράδειγμα:A =, B =. Το είναι ιδιοτιμή και του A και του B (οι A, B είναι τριγωνικοί και ένα διαγώνιο ( στοιχείο στο καθένα είναι το. Ομως το + = δεν είναι ιδιοτιμή του A + B = (iiλάθος ( ( Αντιπαράδειγμα:A =, B =. Το είναι ιδιοτιμή και του A και του B ( Ομως το = δεν είναι ιδιοτιμή του A B = (iiiλάθος ( Αντιπαράδειγμα:A = χ A (x = x +, που δεν έχει πραγματική ρίζα.

. Ιχνος Πινακα 3 (ivσωστό έχουμε χ A (x R[x] και deg χ A (x = 3 περιττός.άρα το χ A (x έχει πραγματική ρίζα. (vσωστό Υπενθύμιση : Εστω φ(x F[x] και λ ιδιοτιμή του A F ν ν. Τότε το φ(λ είναι ιδιοτιμή του φ(x. Άρα εδώ αν φ(x = x + 3 το φ( = + 3 = είναι ιδιοτιμή του φ(a = A + 3I ν, αφού το είναι ιδιοτιμή του A. (viλάθος Υπενθύμιση : Εστω f : V V γραμμική απεικόνιση, λ F,A = (f : â, â όπου â μια διατεταγμένη βάση του V (με dimv = ν.τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα ( Η λ είναι ιδιοτιμή της f. ( det(a λi ν = {} (3 Η λ είναι ιδιοτιμή του A. Εδώ λόγω f(,, = 3(,, και του (3 από την υπενθύμιση το 3 είναι ιδιοτιμή του A επομένως χ A (3 =, άτοπο αφού χ A (x = (x (x 5.// (vii Σωστό - ιδιοτιμή του A άρα ( ιδιοτιμή του A X F ν, X : A X = X Σωστό: ιδιοτιμή του A X F ν, X : AX = X A X = A( X A X = AX A X = ( X A X = X. (viiiλάθος ( Αντιπαράδειγμα:A = Στη συνέχεια θα δούμε τη σχέση που έχει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενος πίνακα με το ίχνος και την ορίζουσα του.. 'Iqnoc PÐnaka Εστω A = (a ij F ν ν και χ A (x = ( ν x ν + a ν x nu +... + a x + a. Τότε a ν = ( ν (a +... + a νν Ορισμός... Το ίχνος του A είναι T r(a = a + a... + a νν (δηλαδή το άθροισμα των διαγώνιων στοιχείων του ( π.χ Αν A =, τότε T r(a = + 4 = 5. 3 4 Ξέρουμε ότι ο συντελεστής του x ν στο χ A (x είναι ( ν T r(a. Υπενθύμιση από Γραμμική Άλγεβρα Ι: Εστω A = (a ij, B = (b ij F ν ν και c F τότε ( T r(a + B = T r(a + T r(b

3 Ιδιοτιμες -Ιδιοδιανυσματα ( T r(ca = ct r(a (3 T r(a B = T r(b A Παρατήρηση : (,( T r : F ν ν F είναι γραμμική απεικόνιση (,(,(3 T r(ab BA =. Απόδειξη ιδιοτήτων: Τα (,( προκύπτουν άμεσα, για το (3 παρατηρήστε ότι το στοιχείο του AB στην θέση (i, i είναι j a ijb ji. Επομένως T r(ab = ( i j a ijb ji = j ( i a ijb ji = T r(ba.3 'Iqnoc,OrÐzousa kai idiotimèc Εστω A = (a ij F ν ν και χ A (x = ( ν x ν + a ν x nu +... + a x + a. Θεωρώντας χ A (x C[X], έχουμε χ A (x = ( ν (x λ (x λ...(x λ ν, λ i C (από το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας.Θα λέμε ότι λ, λ,..., λ ν είναι ιδιοτιμές του A στο C. Ο συντελεστής του x ν στο χ A (x είναι :( ν T r(a = ( ν ( λ λ... λ ν όπου το αριστερό μέλος το έχουμε υπολογίσει από πριν και το δεξί μέλος κάνοντας πράξεις στο χαρακτηριστικό πολυώνυμο χ A (x = ( ν (x λ (x λ...(x λ ν. Άρα T r(a = λ + λ +... + λ ν.επίσης παλιότερα είδαμε ότι χ A ( = det(a και από το χ A (x = ( ν (x λ (x λ...(x λ ν, υπολογίζουμε χ A ( = λ λ... λ ν. Άρα det A = λ λ... λ ν. Συνοψίζοντας τα παραπάνω δείξαμε Πρόταση.3.. Εστω A F ν ν και λ, λ,..., λ ν είναι ιδιοτιμές του A στο C.Τότε ( T r(a = λ + λ +... + λ ν ( det A = λ λ... λ ν ( Παράδειγμα / Άσκηση.9 : Εστω A C 4 4 : χ A (x R[x], det A = 3, T r(a = 4 και μια ιδιοτιμή του A είναι 3i. Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιμές του. Λύση Εστω λ, λ, λ 3, λ 4 C οι ιδιοτιμές του A. Ξέρουμε (χωρίς περιορισμό της γενικότητας, ότι λ = 3i. Επειδή το λ = 3i είναι ρίζα του χ A (x και χ A (x R[x] έπεται ότι το λ = + 3i είναι ρίζα του χ A (x. Από την προηγούμενη πρόταση : det A = λ λ λ 3 λ 4 3 = 3λ 3 λ 4 λ 3 λ 4 = και T r(a = λ +λ +λ 3 +λ 4 4 = 4 + λ 3 + λ 4 λ 3 + λ 4 =. Επομένως λύνοντας το σύστημα λ 3 λ 4 = λ 3 + λ 4 =

.3 Ιχνος,Οριζουσα και ιδιοτιμες 33 έχουμε ότι λ 3 = και λ 4 =. (ή λ 3 = και λ 4 = άρα οι ιδιοτιμές είναι : 3i, + 3i,,. ( Παράδειγμα / Άσκηση.4 : Εστω A C 3 3, χ A (x = x 3 + 3x x (α Είναι ο A αντιστρέψιμος ; (β Είναι ο (A 3I 3 (A 4I 3 αντιστρέψιμος ; (γ Υπολογίστε την ορίζουσα του A A 5I 3. (δ Να βρεθεί το χ A (x. (ε Αληθεύει ότι υπάρχει B C 3 3 με AB BA = A k για κάποιο θετικό ακέραιο k ; Άπαντήσεις : (α A αντιστρέψιμος det A χ A (. Άρα A όχι αντιστρέψιμος // (βος τρόπος Εχουμε det(a 3I 3 neq αφού το 3 όχι ιδιοτιμή του A, άρα A 3I 3 αντιστρέψιμος. Ομοια det(a 4I 3 neq αφού το 4 όχι ιδιοτιμή του A, άρα A 4I 3 αντιστρέψιμος, συνεπώς (A 3I 3 (A 4I 3 αντιστρέψιμος ος τρόπος det(a 3I 3 (A 4I 3 = det(a 3I 3 det(a 4I 3 = χ A (3χ A (4, άρα (A 3I 3 (A 4I 3 αντιστρέψιμος (γ Εχουμε A 5A 5I 3 = (A 5I 3 (A + 3I 3. Άρα det(a 5A 5I 3 = det(a 5I 3 det(a + 3I 3 = χ A (5χ A ( 3 = 5 4 3 3 ( 4 ( 5 = 36 (Παρατηρήστε ότι χ A (x = x(x (x (δ Οι ιδιοτιμές του A είναι,,. Άρα καθένας από τους,, είναι ιδιοτιμή του A (ξαναθυμίζουμε ότι αν φ(x F[x] και λ ιδιοτιμή του A F ν ν. Τότε το φ(λ είναι ιδιοτιμή του φ(x. Συνεπώς καθένας από τους,, 4 είναι ιδιοτιμή του A. Επειδή ο A είναι 3 3, αυτές είναι όλες οι ιδιοτιμές του A C 3 3. Άρα χ A (x = (x (x (x 4. (ε Αν υπάρχει B C 3 3 με AB BA = A k για κάποιο θετικό ακέραιο k,τότε T r(ab BA = T r(a k = T r(a k. Οπως στο (δ επειδή οι ιδιοτιμές του A στο C είναι,, οι ιδιοτιμές του A k θα είναι k, k, k. Άρα άτοπο, άρα δεν υπάρχει τέτοιος B. T r(a k = + + k = + k

34 Ιδιοτιμες -Ιδιοδιανυσματα.4 Qarakthristikì Polu numo grammik c apeikìnishc. Υπενθίμιση από Γραμμική Ι ( Ομοιοι Πίνακες Ορισμός.4.. :Οι πίνακες A, B F ν ν λέγονται όμοιοι στο F ν ν αν υπάρχει αντιστρέψιμος P F ν ν με B = P AP. Ξέρουμε ότι οι A, B F ν ν είναι όμοιοι αν και μόνο αν υπάρχει γραμμική απεικόνιση f : V V και διατεταγμένες βάσεις â, ˆb τοψ V τέτοιοι ώστε A = (f : â, â και B = (f : ˆb, ˆb Πρόταση.4.. Εστω A, B F νν,όμοιοι πίνακες.τότε χ A (x = χ B (x Απόδειξη : Εστω P F ν ν αντιστρέψιμος με B = P AP. Υπολογίζουμε : χ B (x = det(b xi nu = det(p AP xi nu = det(p (A xi nu P = det P det(a xi nu det P = (det P det(a xi nu det P = det(a xi nu = χ A (x Από την προηγούμενη πρόταση άμεση συνέπεια είναι τα εξής: Εστω A, B F ν ν όμοιοι πίνακες τότε: λ ιδιοτιμή του A λ ιδιοτιμή του B T r(a = T r(b det A = det B Παράδειγμα : οι πίνακες δεν είναι όμοιοι αφού έχουν διαφορετικά ίχνη. ( 3 και ( 4 Ορισμός.4.3. Εστω γραμμική απεικόνιση f : V V (όπως πάντα dimv < Εστω â μια διατεταγμένη βάση του V και A = (f : â, â. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο χ f (x είναι χ f (x = χ A (x Παρατήρηση : Ο ορισμός του χ f (x δεν εξαρτάται από τη διατεταγμένη βάση â (Παράδειγμα : Εστω γραμμική απεικόνιση f : R R η γραμμική απεικόνιση με f(x, y = (x + y, x + y έστω ê η( συνήθης βάση του R, δηλαδή ê = {e, e }, e = (,, e = (,. Τότε A = (f : ê, ê =, επομένως χ f (x = χ A (x = x 4x + 3. (Παράδειγμα : Εστω f : R [x] R [x] η γραμμική απεικόνιση με f (φ(x = φ (x φ(x, φ(x R [x]. θεωρούμετη διατεταγμένη βάση â = {, x, x } του R [x]. f( = = + x + x f(x = x = + ( x + x f(x = x x = + x + ( x Άρα (f : â, â =. Άρα αν A = (f : â, â, χ A (x = (x + 3 (ο A είναι άνω τριγωνικός άρα χ f (x = (x + 3

.5 Διαγωνισιμοι Πινακες. 35.5 DiagwnÐsimoi PÐnakec. Ορισμός.5.. Ενας A F ν ν λέγεται διαγωνίσιμος, αν υπάρχει P F ν ν αντιστρέψιμος τέτοιος ώστε ο P AP να είναι διαγώνιος. Δηλαδή A F ν ν διαγωνίσιμος αν είναι όμοιος με ένα διαγώνιο πίνακα στον F ν ν ( (Παράδειγμα : Ο πίνακας A = R 3 διαγωνίσιμος αφού για P = ( ( έχουμε P αντιστρέψιμος και P 3 AP =.(μετά από πράξεις 4 Σημείωση : Το πως βρήκαμε ( τον P θα το δούμε μετά την επόμενη πρόταση. (Παράδειγμα : Ο A = R δεν είναι διαγωνίσιμος : Εστω (για άτοπο ότι υπάρχει P R με P AP = D διαγώνιος.τότε A, D όμοιοι άρα έχουν ( τις ίδιες ιδιοτιμές. Οι ιδιοτιμές του A είναι το (και το πάλι οι ιδιοτιμές του λ D = είναι λ λ = λ =, δηλαδή D = I. Τότε : P AP = I AP = P A = I άτοπο. Υπενθύμιση από Γραμμική Ι (: Εστω A, B F ν ν. Με ( B (k F ν συμβολίζουμε την k στήλη του B.Π.χ αν B =, τότε B 3 5 ( = F 3 και B ( = ( F 5. Επίσης υπενθυμίζουμε από τη Γραμμική Αλγ. Ι ότι (AB (k = A B (k. Απόδειξη : Γράφουμε B = ( B (, B (,..., B (ν. Από τον πολλαπλασιασμό πινάκων έχουμε : AB = A (B (, B (,..., B (ν = ( AB (, AB (,..., AB (ν, οπότε (AB (k = A B (k. Πρόταση.5.. Ο A F ν ν είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν υπάρχει βάση του F ν που αποτελείται από ιδιοδιανύσματα του A Απόδειξη : έστω A διαγωνίσιμος. Τότε υπάρχει αντιστρέψιμος P F ν ν με P AP = D όπου λ D =... διαγώνιος άρα AP = P D (AP (k = (P D k A P (k = P D k = P λ ν. λ k = λ k P (k. Δηλαδή A P (k = λ k P (k k =,,..., ν. Επειδή P (k (αφού P αντιστρέψιμος, έχουμε P (k ιδιοδιάνυσμα του A που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ k. Το {P (, P (,..., P (ν } είναι βάση του F ν (αφού P αντιστρέψιμος.

36 Ιδιοτιμες -Ιδιοδιανυσματα Εστω ότι υπάρχει βάση {X,..., X ν } του F ν τέτοια ώστε κάθε X i είναι ιδιοδιάνυσμα του A i =,,..., ν. Θα δείξουμε ότι ο A είναι διαγωνίσιμος. Υπάρχουν λ,.., λ ν F με AX i = λ i X i. Εστω P F ν ν,με P (k = X k k =,,..., ν. D = λ... λ ν διαγώνιος θα δείξουμε ότι P αντιστρέψιμος και P AP = D. Εχουμε P αντιστρέψιμος (αφού P (, P (,..., P (ν βάση του F ν P AP = D AP = P D (AP (k = (P D k A P (k = P D k A X k = λ k P (k = λ k X k. που θέλαμε να δείξουμε. Απόδειξη : Εστω λ F ιδιοτιμή του A F ν ν. Ο ιδιόχωρος που αντιστοιχεί στο λ είναι V A (λ = {X F ν AX = λx}. Παράδειγμα : Εξετάστε αν ο A F ν ν. Αν είναι διαγωνίσιμος, να βρεθεί μια βάση του F ν αποτελούμενη από ιδιοδιανύσματα του A, ένας αντιστρέψιμος P F ν ν : P AP = D διαγώνιος, και ο D ( (i A = R 3 ( (ii A = R (iii A = (iv A = (v A = (vi A = 4 R 3 3 3 3 5 3 3 R 3 3 6 6 4 ( R ( C (i Με συνήθεις υπολογισμούς (που εδώ παραλείπονται βρίσκουμε : χ A (x = (x ( + (x 4, οι ιδιοτιμές ( είναι, 4, ( V A ( =, V A (4 =. Τα ιδιοδιανύσματα 3 (, 3

( R είναι γραμμικά ανεξάρτητα αφού det 3 ( 3 Σχόλιο : ο P δεν είναι μοναδίκός αφού ισχύει και για Q = ( 4 Q AQ =.5 Διαγωνισιμοι Πινακες. 37 = 5. Θέτοντας P = R (κατά την απόδειξη της πρότασης έχουμε P αντιστρέψιμος και ( {( ( } P AP = (= D και άρα το σύνολο, είναι μια βάση 4 3 του R. (, όπου 3 (ii Με συνήθεις πράξεις : χ A (x = ( (x, μοναδική ιδιοτιμή το V A ( =. Άρα κάθε δύο ιδιοδιανύσματα του A είναι γραμμικά εξαρτημένα. Συνεπώς δεν υπάρχει βάση του R αποτελούμενη από ιδιοδιανύσματα του A. Από την πρόταση A όχι διαγωνίσιμος. (iii Με συνήθεις πράξεις : χ A (x = (x (x 3, οι ιδιοτιμές είναι, 3, V A ( =, V A (3 =. Επειδή dimv A ( = = dimv A (3 είναι σαφές ( ότι δεν υπάρχουν 3 γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα του A. Άρα ο A όχι διαγωνίσιμος. ( :γιατί θα είχαμε ή στοιχεία από το V A ( ή στοιχεία από το V A (3 (iv Με συνήθεις πράξεις : χ A (x = (x + (x 4, οι ιδιοτιμές είναι, 4 V A ( =,, V A (4 =. Επειδή det. Θέτοντας P = R 3 3 έχουμε P αντιστρέψιμος και P AP = (= D διαγώνιος, και άρα το σύνολο 4

38 Ιδιοτιμες -Ιδιοδιανυσματα,, είναι μια βάση του R3. (v Εδώ χ A (x = x + και άρα ο A R δεν έχει ιδιοτιμές. Άρα ο A όχι διαγωνίσιμος (vi (να συγκριθεί ( με το v πάλι χ A (x = ( x + οι ιδιοτιμές είναι i, i, V A (i =, V i A ( i =. + i ( Επειδή det, i + i {( ( } έχουμε μια βάση, του C i + i που αποτελείται από ιδιοδιανύσματα του A. ( Αν P = C i + i, έχουμε P αντιστρέψιμος (αφού det P και ( i ξέρουμε P AP =. i Σχόλιο : από τα (v,(vi βλέπουμε ότι ο μόνος τρόπος ο A να είναι διαγωνίσιμος, είναι ο P να έχει στοιχεία του C. Άσκηση 3.3 : Εστω A F ν ν διαγωνίσιμος. (i Για κάθε θετικό ακέραιο k,a k διαγωνίσιμος και γενικά για κάθε φ(x F[x], φ(a διαγωνίσιμος. (ii Αν A k = για κάποιο θετικό ακέραιο k, τότε A =. (iii Αν A αντιστρέψιμος τότε φ(a διαγωνίσιμος για κάθε φ(x F[x]. (iv Αν χ A (x = (x 3, να βρεθεί ο A. (v Αν X F ν με A k X = για κάποιο k, τότε AX =. (vi Εστω A αντιστρέψιμος και F = R. Είναι δυνατό ο A + A να είναι όμοιος με τον diag(, 3, 3,..., 3 ; Λύση : (iεπειδή A F ν ν διαγωνίσιμος, υπάρχει P F ν ν αντιστρέψιμος με P AP = D = diag(λ,..., λ ν. Οι ιδιοτιμές του Α είναι οι λ,..., λ ν. (i Εχουμε ( P AP k ( = D k = diag(λ k,..., λ k ν διαγώνιος. Θα δείξουμε ότι P AP k = P A k P

.5 Διαγωνισιμοι Πινακες. 39 για κάθε k. Με επαγωγή στο k : Για k = είναι προφανές Εστω ( P AP k = P A k P για κάποιο k θα δείξουμε ότι ( P AP k+ = P A k+ P. Πράγματι ( P AP k+ = ( P AP k ( P AP = P A k (P P AP = P A k I ν AP = P A k+ P. Δηλαδή ( P AP k = D k διαγώνιος, άρα A k διαγωνίσιμος Γενικά αν φ(x = a n x n +... + a x + a, τότε P φ(ap ( = P (a n A n P +... + P (a AP + P a I ν P = = a n P AP n ( +... + a P AP + a I ν = a n D n +... + a D + a I ν = = a n diag(λ n,..., λ n ν +a n diag(λ n,..., λ n ν +a diag(λ,..., λ ν +a I ν = diag (φ(λ,..., φ(λ ν που είναι διαγώνιος.άρα φ(a διαγωνίσιμος. (ii Εστω A k =. Τότε P A k P =, δηλαδή (από πριν ( P AP k = D k = diag(λ k,..., λ k ν = λ k i = i λ =... = λ ν =. Δηλαδή D = P AP = P ( P AP P = A = (iii από το (i αρκεί να δείξουμε ότι A είναι διαγωνίσιμος. Επειδή A διαγωνίσιμος, D αντιστρέψιμος και D = diag(λ,..., λ ν διαγώνιος. Από P AP = D ( P AP = D (iv Επειδή χ A (x(x 3, αν λ ιδιοτιμή του A τότε λ = 3. Επειδή A διαγωνίσιμος, A όμοιος με diag(3, 3,,..., 3 = 3 I. Δηλαδή P AP = 3 I A = P (3 I P = 3 I. (v Εστω A k X =, X F ν. Οπως πριν έχουμε A k = P D k P (P AP = D ( P AP k = D k A k = P D k P. Άρα P D k P X = D k (P X = (. Εστω P X = y.. y ν λ = ή y = λ = ή y =... λ ν = ή y ν =. Εχουμε D k = diag(λ k,..., λ k ν. Τότε ( λ y = λ y =... λ ν y ν = D(P X =. λ k y = λ k y =... λ k νy ν = Άρα P (D(P X = (P DP X = AX =. (v Εχουμε από πριν P AP = D και P A P = D. Άρα P (A + A P = D + D diag(λ + λ,..., λ ν + λ ν, όπου λ i R. Δηλαδή οι ιδιοτιμές του A + A είναι